Главная » Для аспирантов » Программа кандидатского экзамена по специальности 01.02.01 - Теоретическая механика - часть 1

Программа кандидатского экзамена по специальности 01.02.01 - Теоретическая механика - часть 1

  программа курса в формате .pdf

Программа основана на паспорте специальности 01.02.01 - Теоретическая механика. Соискатель должен владеть основными принципами построения механико-математических моделей, знать главные исторические этапы развития теоретической механики и вклад отечественных ученых в этом процессе, уметь решать задачи по механике.

1. Кинематика.
   • Кинематика точки. Естественный трехгранник Дарбу. Криволинейные координаты и параметры Ламе.
   • Кинематика системы отсчета (кинематика абсолютно твердого тела). Свойства матрицы направляющих косинусов и кватернионов. Спиновые матрицы Паули и па-раметры Келли-Клейна. Угловая скорость. Кинематические уравнения для углов Эй-лера, для матрицы направляющих косинусов (уравнения Пуассона) и уравнения для кватернионов. Теорема о телесном угле в кинематике вращательного движения.
   • Кинематика относительного движения.
2. Динамика.
   • Геометрия масс и динамические меры движения механической системы. Количест-во движения. Момент количеств движения (кинетический момент). Кинетическая энергия.
   • Основные теоремы динамики. Теоремы об изменении количества движения и мо-мента количеств движения. Теорема о движении центра масс. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Теорема об изменении кинетической энергии. Основные теоремы динамики для относительного движения.
   • Специальные задачи динамики точки. Задача двух тел и ее решение. Классификация траекторий. Законы Кеплера для эллиптических траекторий. Основная задача внеш-ней баллистики.
   • Классические задачи динамики твердого тела. Случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалев-ской. Стационарные движения: перманентные вращения и регулярная прецессия. Гироскоп.
   • Лагранжева механика. Принцип Даламбера-Лагранжа. Конфигурационное много-образие системы с конечным числом степеней свободы. Обобщенные координаты. Виртуальные перемещения. Голономные и неголономные системы. Уравнения Ла-гранжа. Уравнения Лагранжа с множителями. Уравнения Аппеля. Уравнения Рауса для систем с циклическими координатами. Первые интегралы уравнений Лагранжа.
3. Устойчивость движения.
   • Основные понятия теории устойчивости движения. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функции Ляпунова. Общие теоремы второго метода Ляпунова.
   • Устойчивость линейных стационарных систем. Критерий Рауса-Гурвица. Частот-ные критерии (критерии Михайлова, Найквиста). Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Понятие о критических случаях.
   • Устойчивость стационарных движений механической системы. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия и ее обобщения. Обращение теоремы Ла-гранжа. Коэффициенты устойчивости Пуанкаре. Влияние структуры сил на характер устойчивости положения равновесия.
4. Колебания.
   • Колебания линейных стационарных систем. Спектральные свойства линейных сис-тем. Нормальные координаты. Классификация линейных сил. Теоремы Релея. Вы-нужденные колебания. Амплитудно-частотные характеристики. Резонанс. Параметрический резонанс в линейных системах с переменными коэффициентами.
   • Колебания нелинейных систем. Амплитудно-частотные характеристики. Бифуркации стационарных состояний. Автоколебания как устойчивые предельные циклы на фа-зовой плоскости. Понятие нормальной формы Пуанкаре. Понятие о разделении движений и методах осреднения. Метод точечных отображений.
5. Вариационные принципы механики.
   • Принцип наименьшего принуждения Гаусса.
   • Принцип Гамильтона-Остроградского.
   • Принцип наименьшего действия в формах Лагранжа и Якоби.
6. Элементы теории групп Ли.
   • Группы преобразований. Операторы группы. Теорема единственности однопарамет-рической группы. Ряды Ли и Хаусдорфа.
   • Группы симметрий. Канонические координаты. Продолжение группы. Дифференци-альные и интегральные инварианты.
7. Гамильтонова механика.
   • Обобщенные импульсы. Преобразования Лежандра. Уравнения Рауса и Гамильтона. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля о фазовом объеме. Инте-гральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана.
   • Канонические преобразования. Локальный критерий каноничности. Производящие функции. Метод Биркгофа нормализации гамильтониана. Уравнение Гамильтона-Якоби.
   • Переменные действие-угол. Теорема Лиувилля об инвариантных торах.
8. Элементы небесной механики.
   • Дифференциальные уравнения возмущенного движения в оскулирующих элементах в задаче двух тел.
   • Задача трех тел и ее первые интегралы. Ограниченная круговая задача трех тел. Понятие о точках либрации и их устойчивости.
   • Задача о движении небесного тела вокруг его центра масс под действием момента гравитационных сил.
9. Механика управляемых движений.
   • Структурный анализ и линейный синтез управляемых систем. Управляемость, на-блюдаемость, стабилизируемость линейных систем. Критерии управляемости и на-блюдаемости. Управление по принципу обратной связи. Стабилизация по первому приближению.
   • Оценивание состояния линейных систем. Фильтр Калмана. Совместная задача оце-нивания и управления.
   • Инерциальная навигация. Методы определения местоположения и ориентации объекта, движущегося в поле сил притягивающего центра. Уравнения ошибок инерциальной навигации и их свойства.
   • Принцип максимума Понтрягина. Метод динамического программирования Белл-мана. Связь принципа максимума с методом Беллмана.

Литература

• Аппель П. Теоретическая механика. Т.1,2. М.: Физматгиз. 1960.
• Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат,1946.
• Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука. 1987.
• Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука. 2001.
• Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1999.
• Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во Моск. Ун-та.2000.
• Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука.1965.
• Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1971.
• Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Физматлит. 1967.
• Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука. 1988.
• Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М.: Наука. 1988.
• Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ. 1937.
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир. 1965.
• Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. Изд-во МГУ,2000.
• Климов Д.М. Инерециальная навигация на море. М.: Наука. 1984.
• Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., Наука. 1968.
• Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1967.
• Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука. 1976.
• Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1998.
• Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. М.: Изд-во Московского ун-та. 1982.

Программа кандидатского экзамена по специальности 01.02.01 - Теоретическая механика - часть 2

наверх