МГУ имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
 
Кафедра прикладной механики и управления

Брахистохрона и двумерная задача Годдарда

13 октября 2021 года
Е.В.Малых, Н.В.Смирнова, О.Ю.Черкасов

Рассматривается движение материальной точки в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести и в однородной, сопротивляющейся среде. В качестве управляющих переменных рассматриваются угол траектории и тяга. Целью управления является максимизация горизонтальной дальности за заданное время. Количество топлива задано. Наряду с задачей максимизации дальности рассматривается модифицированная задача о брахистохроне, сформулированная следующим образом: найти кривую, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, вдоль которой материальная точка в поле силы тяжести и неконсервативной силы перемещается из начальной в конечную точку за кратчайшее время.

В [1] была исследована задача оптимального программирования тяги для максимизации дальности при заранее определенных законах изменения угла наклона траектории. В [2] рассмотрена задача о брахистохроне, в которой управлением являлся угол наклона траектории, при заранее заданных законах изменения массы точки. Настоящее исследование дополняет работы [1,2], поскольку управлениями являются и угол наклона траектории, и сила тяги.

Результаты: для определенной области в пространстве переменных построен синтез оптимального управления тягой и углом наклона траектории. Структура оптимальной тяги качественно совпадает с классическим решением задачи Годдарда: максимальная-промежуточная-нулевая или нулевая-промежуточная-нулевая.

Литература

  1. Nahshon Indig, Joseph Ben Asher. Singular Control for Two-Dimensional Goddard Problems Under Various Trajectory Bending Laws, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2018, 42(2):1-15. DOI: 10.2514/1.G003670.
  2. O. Jeremic, S. Salinic, A. Obradovic, Z. Mitrovic. On the brachistochrone of a variable mass particle in general force fields, Mathematical and Computer Modelling, 2011, V. 54, pp. 2900–2912.