Исследование параметрического резонанса в математическом маятнике

16 марта 2022 года
Давудова Лавия Феликсовна
(аспирант 2-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Буданов В.М., рецензенты д.ф.-м.н. Морозов В.М., асп. 1 г. о. Клюев А.)

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводит ряд задач механики. Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению этих уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил. В этой задаче дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня представляет собой известное уравнение Хилла. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье, введенное в 1873 г. в связи с исследованием колебаний эллиптической мембраны.

В докладе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Показано его сведение к системе двух нелинейных уравнений первого порядка, построено первое приближение для этой системы, получены стационарные решения, показан график стационарных резонансных амплитуд и построены графики наложения первого приближения на результат численного интегрирования исходного уравнения. Цель - построение областей устойчивости и неустойчивости в зависимости от параметров: амплитуды и частоты возбуждения и исследование решений уравнения вблизи границ этих областей, с помощью метода, который объединяет метод усреднения и метод последовательных приближений. Данный подход был применен к уравнению Матье, были построены четвертое приближения для второй резонансной области и третье приближения для третьей резонансной области уравнения Матье, которые описывают поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Показано, что вблизи границ, но вне резонансных зон, имеет место движение типа биений, а внутри границ - экспоненциальный рост.

Дано описание поведения решений вне резонансных зон в аналитическом виде, в том числе оценка периода биений, что ранее не встречалось в литературе. Приведено сравнение полученных уравнений границ устойчивости с известными результатами, которое показывает то, что, несмотря на неизученную сходимость данного метода, он дает формулы, которые в точности совпадают с известными в литературе.