Исследование параметрического резонанса в нелинейном математическом маятнике

24 марта 2021 года
Давудова Лавия Феликсовна
(аспирант 1-го г. о., научный руководитель к.ф.- м.н. В.М.Буданов, рецензенты д.ф.-м.н. В.М.Морозов, асп. 2 г. о. К.Кочура)

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводит ряд задач механики. Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению этих уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил. В этой задаче дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня представляет собой известное уравнение Хилла. Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье, введенное в 1873 г. в связи с исследованием колебаний эллиптической мембраны.

           В докладе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Показано его сведение к нелинейному уравнению первого порядка и описан подход, который позволяет строить приближенные решения как в самих областях неустойчивости, так и в их окрестностях. Данный подход был применен к уравнению Матье, были построены первое, второе, третье и четвертое приближения для второй резонансной области, а также первое, второе и третье приближения для третьей резонансной области уравнения Матье, которые описывают поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Показано, что вблизи границ, но вне резонансных зон, имеет место движение типа биений, а внутри границ - экспоненциальный рост. Дано описание поведения решений вне резонансных зон в аналитическом виде, в том числе оценка периода биений, что ранее не встречалось в литературе. Приведено сравнение полученных уравнений границ устойчивости с известными результатами, которое показывает то, что, несмотря на неизученную сходимость данного метода, он дает формулы, которые в точности совпадают с известными в литературе.