Исследование параметрического резонанса в математическом маятнике

15 марта 2023 года
Давудова Лавия Феликсовна
(аспирант 3-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Буданов В.М., рецензенты д.ф.-м.н. Морозов В.М., асп. 2 г. о. Клюев А.)

К системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводит ряд задач механики. Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению этих уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил. В этой задаче дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня представляет собой известное уравнение Хилла . Частным случаем уравнения Хилла является уравнение Матье, введенное в 1873 г. в связи с исследованием колебаний эллиптической мембраны.      

С помощью метода, который объединяет метод усреднения и метод последовательных приближений, который был применен к уравнению Матье, были построены четвертое приближения для второй резонансной области и третье приближения для третьей резонансной области уравнения Матье, а также второе приближение для уравнения математического маятника, которые описывают поведение решений как внутри резонансной области, так и снаружи. Показано, что для уравнения Матье вблизи границ, но вне резонансных зон, имеет место движение типа биений, а внутри границ - экспоненциальный рост. Дано описание поведения решений вне резонансных зон в аналитическом виде, в том числе оценка периода биений, что ранее не встречалось в литературе. Приведено сравнение полученных уравнений границ устойчивости с известными результатами, которое показывает, что, несмотря на не изученную сходимость данного метода, он дает формулы, которые в точности совпадают с известными в литературе.

В предстоящем докладе будет рассматривается уравнение движения спутника, у которого есть положение равновесия. Цель - стабилизировать это положение равновесия за счет магнитного момента, посредством построения управления в виде обратной связи, обеспечивающим асимптотическую устойчивость положения равновесия. Преимущества - вместо одного нестационарного по управлению уравнения, рассматривается два, но стационарных уравнения, в которых можно выбирать управление без всякого численного счета.