Решение задачи о прямом и обратном переходах в модифицированной модели Александрова-Сото третьего порядка

26 апреля 2023 года
Цао Нин
(аспирант 2-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Бугров Д.И., рецензенты к.ф.-м.н. Шуленина Н.Э., асп. 1 г. о. Малых Е.)

Рассмотрена модель Ходжкина-Хаксли с модификациями Александрова-Сото третьего порядка, которая описывает динамику между мембранным потенциалом, вероятностью присутствия частиц активации и вероятностью отсутствия частицы инактивации в калиевом канале афферентного первичного нейрона. Это нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, в которой синаптический ток считается изменяемым входным параметром системы.

Найдены значения постоянного синаптического тока, при которых система бистабильна, то есть имеет два аттрактора: асимптотически устойчивая стационарная точка (точечный аттрактор) и орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл (периодический аттрактор).

Область притяжения точечного аттрактора D найдена численно. Область достижимости линеаризованной системы Da построена на основе решения задач Булгакова. С использованием теории Флоке найдена переходная матрица для периодической нестационарной линеаризованной системы на точках предельного цикла. Это позволило построить приближение области достижимости нестационарной линейной системы с центром в точке на орбите предельного цикла Db

Результаты показывают: 1) область Da не полностью содержится в D, т. е. пересечение  Da с D непусто, значит можно вывести состояние системы из области D. Это математическое подтверждение возможности коррекции возбуждения нейрона с помощью внешнего влияния (гальванической вестибулярной стимуляции), то есть решение задачи прямого перехода. 2) Пересечение областей D и Db непусто, что дает возможность перевести состояние системы из окрестности предельного цикла в область D, то есть построить решение задачи обратного перехода. Этот случай соответствует торможению нейрона.