Задача о выборе места посадки с минимальным расходом топлива

11 декабря 2024 года
Орел Никита Андреевич
(аспирант 2-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Черкасов О.Ю., рецензенты к.ф.-м.н. Бугров Д.И., асп. 3 г. о. Подоприхин М.А.)

Важным классом прикладных задач оптимального управления являются задачи программирования оптимальной тяги вдоль прямолинейной траектории. Они возникают, например, при рассмотрении вертикального полета ракет, горизонтального полета самолетов. Одной из первых работ, относящихся к такому классу, можно считать работу Роберта Годдарда (1919), в которой была рассмотрена задача о достижении ракетой заданной высоты при минимальном расходе топлива. Подобного рода задачами также занимались Георг Гамель (1927), Цзян и Эванс (1951), Джордж Лейтманн (1956), Анджело Миеле (1956,1957), Ченг и Конрад (1964), Дмитрук и Самыловский (2013) и другие.   

Доклад посвящен обобщению задачи о выборе места посадки летательного аппарата над поверхностью планеты в случае постоянной массой и в среде с сопротивлением (случай среды без сопротивления рассмотрен Ченгом и Конрадом).           

С использованием принципа максимума Понтрягина задача оптимального управления сводится к краевой для системы нелинейных дифференциальных уравнений. Аналитическое исследование динамической системы с помощью метода фазовой плоскости позволяет определить качественные свойства оптимальных траекторий и возможные оптимальные программы тяги.    

Аналитически описаны области начальных данных, для которых краевая задача имеет решение. Показано, что для достижения терминального множества нужно двигаться либо только с промежуточной тягой, либо сначала с максимальной тягой, а затем с промежуточной. Однако в случае квадратичного сопротивления в области выше сепаратрисы «седла» возникает программа тяги промежуточная-максимальная-промежуточная.      

Полученные качественные результаты проиллюстрированы численным моделированием.