Задача Маркова-Дубинса с управляемым вектором тяги и штрафом на расход топлива

16 сентября 2026 года
Орёл Никита Андреевич
(аспирант 4-го г. о., научный руководитель к.ф.-м.н. Черкасов О.Ю., рецензенты к.ф.-м.н. Бугров Д.И., асп. 2 г. о. Сафин Д.А.)

При планирования лунных миссий возникла задача минимизации расхода топлива при выборе места посадки на поверхность спутника Земли. Рассматривался полет над Луной на небольшой высоте, зависание на время, достаточное для изучения потенциального места посадки, и при необходимости перемещение для поиска нового места посадки. Подобными задачами занимались Ченг, Конрад, Келлер, Брайсон, Спейер и другие.  Исследования такого рода можно отнести к классу прикладных задач оптимального управления являются задачи программирования оптимальной тяги вдоль прямолинейной траектории (Годдард, Гамель, Цзян и Эванс, Лейтманн, Миеле, Дмитрук и Самыловский). Они возникают, например, при рассмотрении вертикального полета ракет, горизонтального полета самолетов, движению тележки с реактивным двигателем.                          

Данная работа является естественным обобщением одномерной задачи выбора места посадки на случай движения в горизонтальной плоскости. В качестве кинематической модели движения центра масс летательного аппарата рассматривается модель Маркова-Дубинса. Движение машины Дубинса в горизонтальной плоскости обеспечивается за счет реакции опоры поверхности, а для «самолета» Дубинса – за счет подъемной силы. В рассматриваемой задаче роль реакции опоры или подъемной силы играет вертикальная составляющая вектора тяги, компенсирующая силу тяжести. Повороты осуществляются при помощи составляющей вектора тяги, ортогональной к вектору скорости. Целевой функцией является взвешенная сумма конечной дальности и расхода топлива.

Применение принципа максимума Понтрягина сводит задачу оптимального управления к краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений. Качественное исследование полученной системы методом фазовой плоскости позволило установить характерные свойства экстремальных траекторий и определить возможную структуру оптимального управления, в частности, магистральное движение в окрестности седловой точки для достаточно больших значений времени процесса. Определено количество участков движения с управлением, лежащим внутри ограничений и на ограничениях, найдена их последовательность. Установлено, что структура управления, в общем случае, состоит из одной дуги граничной тяги, одной дуги промежуточной тяги и еще одной дуги граничной тяги. Построен синтез оптимального управления.