Задача о максимальном отклонении, абсолютная устойчивость и робастная стабилизация

В 1939 году Б.В. Булгаковым для линейной стационарной системы была поставлена задача о максимальном отклонении (о накопленном возмущении) по одной координате в фиксированный момент времени. Она возникла в связи с актуальной технической проблемой оценки баллистической девиации гирокомпаса при маневрировании корабля. Общая математическая постановка и решение этой задачи было опубликовано в. Задача о максимальном отклонении явилась первой экстремальной задачей на функциональном множестве с ограничениями типа неравенства и в этом смысле предшествовала всем остальным задачам оптимального управления при наличии ограничений. Из ее решения, полученного в явном виде Б.В. Булгаковым, следует, что принцип максимума Л.С. Понтрягина является в этом случае не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Дальнейшее развитие эта задача получила в работах Я.Н. Ройтенберга, Л.С. Гноенского, В.В. Александрова, Л.Н. Таракановой и др.

Задача о максимальном отклонении была модифицирована для нефиксированного времени и параметрических возмущений (В.В. Александров). Это дало возможность разработать новый, вариационный, метод решения задач абсолютной устойчивости. Формулировка самой задачи абсолютной устойчивости также связана с именем Б.В. Булгакова. В 1942 году он впервые дал описание неопределенностей, возникающих в исполнительных механизмах при стабилизации, в виде функционального множества. Вариационный метод анализа абсолютной устойчивости позволяет редуцировать исходную задачу для колебательных систем к задаче о максимальном отклонении на полупериоде колебаний соответствующей квадратичной формы, которая, по сути дела, является колеблющейся функцией Ляпунова (В.В. Александров, В.И. Жермоленко, и др.).

Дальнейшее развитие этого метода связано с минимаксной методикой робастной стабилизации (В.В. Александров, В.И. Жермоленко) и максиминного тестирования точности робастной стабилизации (В.В. Александров). Максиминная задача тестирования, образующая вместе с минимаксной задачей робастной стабилизации динамическую игру, позволяет находить объективную оценку качества стабилизации нестационарных движений. При наличии седловой точки попутно находится минимаксная стратегия робастной стабилизации. Данная методика нашла применение и для стохастических систем. Следует отметить, что процедура тестирования не требует знания самого алгоритма стабилизации, и в этом смысле пригодна как для оценки алгоритма, реализованного в бортовом компьютере, так и в центральной нервной системе оператора (например, в случае дистанционного ручного управления) (В.А. Садовничий, В.В. Александров, С.С. Лемак).