МГУ имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
 
Кафедра прикладной механики и управления

Курс «Механика управляемых систем»

Годовой курс «Механика управляемых систем» - общий для студентов 4 курса отделения механики. Он был создан Я.Н. Ройтенбергом и впоследствии модифицирован В.В. Александровым и Н.А. Парусниковым. Предмет курса - современные методы анализа и синтеза управления движением механических систем. По курсу проводятся семинарские занятия.

Программа курса «Механика управляемых систем»

1-й семестр

  1. Математическая модель управляемой системы. Программное управление и управление с обратной связью. Соответствие математической и физической моделей.
  2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Критерий Гурвица (без доказательства). Запас устойчивости.
  3. Управляемость. Критерий управляемости для стационарных управляемых систем.
  4. Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости стационарных систем.
  5. Теорема о стабилизации вполне управляемой системы с известным вектором состояния при помощи обратных связей.
  6. Асимптотически устойчивый алгоритм оценивания во вполне наблюдаемой стационарной линейной системе.
  7. Стабилизация по оценке и асимптотическая устойчивость замкнутой системы.
  8. Декомпозиция по управлению. Инвариантные управляемые подпространства.
  9. Декомпозиция по наблюдению. Инвариантные ненаблюдаемые подпространства.
  10. Стабилизация стационарной не вполне управляемой и не вполне наблюдаемой системы.
  11. Понятие корреляции. Матрица ковариации. Многомерный нормальный закон распределения.
  12. Решение переопределенных систем линейных алгебраических уравнений. Вероятностная интерпретация метода наименьших квадратов.
  13. Задача построения оценки x по известным µx, µz, Pxx, Pxz, Pzz и измерению z. Минимум дисперсии и критерий ортогональности. Интерпретация оценки как условного среднего.
  14. Процесс с ортогональными приращениями. Понятие белого шума.
  15. Стохастические модели непрерывных и дискретных динамических систем. Дисперсионные уравнения.
  16. Дискретный фильтр Калмана.
  17. Непрерывный фильтр Калмана.
  18. Условия устойчивости фильтра Калмана. Стационарный фильтр Калмана при бесконечном времени наблюдения.
  19. Применение теории наблюдаемости и оценивания к задаче инерциальной навигации. Коррекция ИНС при помощи информации доставляемой спутниковыми навигационными  системами.

2-й семестр

  1. Формулировка принципа максимума Понтрягина для оптимизации прихода на многообразие.
  2. Формула приращения функционала в задаче оптимизации с фиксированным временем.
  3. Классическая вариация и необходимое условие слабого локального минимума.
  4. Задача Больца в вариационном исчислении, уравнения Эйлера.  Лагранжева форма условий оптимальности ПМП.  Связь с вариационными принципами механики.
  5. Оптимальная стабилизация линейных систем при неограниченных ресурсах управления. Оценка сверху для решений системы.
  6. Квадратичная стабилизация и линейные матричные неравенства. Лемма Ляпунова и неравенство Ляпунова. Оценка сверху для критерия качества.
  7. Робастная квадратичная стабилизация. Стабилизация при наличии аддитивных возмущений.
  8. Стабилизация линейной стохастической системы. Совместная задача управления и оценивания. Теорема разделения.
  9. Игольчатая вариация и необходимое условие сильного локального минимума. Задача быстродействия. Достаточность принципа максимума для линейных вполне управляемых систем.
  10. Регулярный синтез по Болтянскому (n=2).
  11. Метод динамического программирования как достаточное условие оптимальности.
  12. Применение принципа оптимальности Беллмана в задаче о линейном регуляторе с квадратичным критерием качества.
  13. Вариация Келли и необходимое условие оптимальности для особых экстремалей Понтрягина. Скобки Пуассона.
  14.  Задача о подъеме ракеты на максимальную высоту.
  15. Обобщенное необходимое условие оптимальности особых экстремалей и структура оптимального управления.
  16. Двухуровневое управление сингулярно возмущенной системой.
  17. Управление планированием тяжелого летательного аппарата.
  18. Максиминное тестирование точности стабилизации управляемой системы.

Литература

  • Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М. Наука, 1971, 1978, 1992.
  • Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М. Изд-во МГУ, 2000.
  • Новожилов И.В. Фракционный анализ. М. Изд-во МГУ, 1995.
  • Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. М. Изд-во МГУ, 1982.
  • Афанасьев В.И., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструироваеия систем управления. М. Изд-во Высшая школа, 1998.

Сборник задач по «Механике управляемых систем»

Настоящий сборник сформирован для сопровождения практических занятий по курсу "Механика управляемых систем", читаемого студентам 4-го курса отделения Механики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

В 1967 году профессор кафедры прикладной механики Я.Н. Ройтенберг начал чтение разработанного им курса "Механика управляемых движений". В 1986-89 годах профессора кафедры В.В. Александров и Н.А. Парусников модернизировали курс.

Специфика курса "Механика управляемых систем" заключается в том, что для его успешного освоения студентам необходимо активно использовать полученные ранее знания по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теоретической механике, теории вероятностей и случайных процессов, вариационного исчисления и других.

Сборник содержит краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения. Включает в себя разделы по устойчивости, управляемости, наблюдаемости, стабилизации динамических систем, анализу стохастических систем, фильтру Калмана, принципу максимума Понтрягина и элементам прикладной теории оптимального управления движением. В сборнике имеются как относительно простые упражнения, так и задачи-исследования и теоретические вопросы. К некоторым упражнениям даны ответы или указания.

Составители сборника задач по «Механике управляемых систем» старший научный сотрудник лаборатории МОИДС О.Ю. Черкасов и научный сотрудник лаборатории управления и навигации М.Ю. Попеленский При подготовке сборника использовались как широко известные задачи теории автоматического управления и структурного анализа и линейного синтеза, так и адаптированные научные публикации и доклады конференций последних лет. Большинство задач предлагалось на семинарских занятиях по курсу "Механика управляемых систем". Ряд задач основан на научных результатах, полученных преподавателями и сотрудниками кафедры прикладной механики механико-математического факультета, лаборатории навигации и управления и лаборатории математического обеспечения имитационных динамических систем: В.В. Александров, Ю.В. Болотин, Д.И. Бугров, Н.Б. Вавилова, А.А. Голован, С.С. Лемак, А.И. Матасов, Н.А. Парусников, М.Ю. Попеленский, В.В. Тихомиров, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев.

Вместе с учебным пособием "Оптимальное управление движением" данный сборник составляет единое целое руководство как по чтению лекций так и по проведению семинаров.

Предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся в области управления и оценивания динамических систем.

В.В. Александров
Н.А. Парусников

Здесь можно скачать разделы задачника, содержащие примеры решения задач.